شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | قضیه هرون](https://dl2.my-dars.com/upload/image/071744012456.jpg)
مساحت مثلث ABC با طول اضلاع a، b و c از رابطه زیر حاصل می شود:
\(S = \sqrt {P\left( {P - a} \right)\left( {P - b} \right)\left( {P - c} \right)} \)
P نصف محیط است یعنی:
\(P = \frac{{a + b + c}}{2}\)
مثال
مساحت مثلثی با اضلاع 4، 5 و 7 را با استفاده از دستور هرون محاسبه کنید.
\(\begin{array}{l}P = \frac{{7 + 5 + 4}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\\\\S = \sqrt {P\left( {P - a} \right)\left( {P - b} \right)\left( {P - c} \right)} \\\\S = \sqrt {8\left( {8 - 4} \right)\left( {8 - 5} \right)\left( {8 - 7} \right)} \\\\S = \sqrt {8 \times 4 \times 3 \times 1} \Rightarrow S = 4\sqrt 6 \end{array}\)
مساحت هر مثلث برابر است با نصف حاصل ضرب اندازه دو ضلع در سینوس زاویه بین آنها.
حکم: \({S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AB \times BC \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} B\)
اثبات
\(\begin{array}{l}{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \hat B\\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AH \times BC\\\\ \Rightarrow {S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}AB \times BC \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} B\end{array}\)
به طور مشابه اثبات می شود:
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}ab{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C\\\\S = \frac{1}{2}bc{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\end{array}\)
1 چهار ضلعی ABCD که در آن \(\hat A = {90^0}\) است یک زمین کشاورزی را نشان می دهد مساحت این زمین را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}B{D^2} = {80^2} + {60^2} \Rightarrow BD = \sqrt {10000} = 100\\\\{P_{B\mathop C\limits^\Delta D}} = \frac{{50 + 90 + 100}}{2} = 120\\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta D}} = \frac{1}{2} \times 60 \times 80 = 2400\\\\{S_{B\mathop C\limits^\Delta D}} = \sqrt {P\left( {P - a} \right)\left( {P - b} \right)\left( {P - c} \right)} \\\\ \Rightarrow \sqrt {120\left( {120 - 50} \right)\left( {120 - 90} \right)\left( {120 - 100} \right)} \\\\ \Rightarrow \sqrt {120 \times 20 \times 30 \times 70} = 600\sqrt {14} \\\\{S_T} = 2400 + 600\sqrt {14} \simeq 4650{m^2}\end{array}\)
2 مساحت مثلث زیر را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} {60^0}\\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = 3 \times 10 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 15\sqrt 3 \end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
